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Quel est l’ordre du filtre ?
L’ordre d’un filtre définit l’efficacité avec laquelle on supprime les fréquences par rapport à la ou les fréquences de coupures. Plus l’ordre du filtre est élevé plus son efficacité est élevée. L’ordre du filtre dépend de la pente du diagramme de Bode du gain.
Qu’est-ce qu’un filtre du premier ordre ?
On parle de filtre du 1er ordre car le dénominateur de la fonction de transfert est un polynôme du 1er ordre en jω. Les diagrammes de Bode ci-dessous montrent que, lorsqu’on s’éloigne de la bande passante, la décroissance du gain est assez lente.
Quelle est la fonction de transfert d’un filtre passe-haut ?
Le filtre passe–haut laisse passer les hautes fréquences et coupe les basses fréquences ; Le filtre passe-bande laisse passer les harmoniques situées dans une certaine bande de fréquences. Le filtre coupe-bande (On dit aussi réjecteur de bande) coupe les harmoniques dans une certaine bande de fréquences.
Comment savoir si un filtre est passé bas ou haut ?
- filtre passe–haut : Il ne laisse passer que les fréquences au-dessus d’une fréquence déterminée, appelée “fréquence de coupure”. …
- filtre passe–bas : Il ne laisse passer que les fréquences au-dessous de sa fréquence de coupure.
Quels sont les deux types de filtrage ?
filtration clarifiante : diamètre des pores entre 10 et 450 µm ; microfiltration : diamètre des pores entre 10 ou 20 nm et 10 µm ; ultrafiltration : diamètre des pores entre 1 ou 2 et 10 ou 20 nm ; osmose inverse : diamètre des pores entre 0,1 et 1 nm.
Quels sont les types de filtre ?
- Les filtres grossiers : aussi appelés préfiltres, ils sont principalement utilisés en première étape de traitement de l’air et permettent de supprimer de l’air les plus grosses particules. …
- Les filtres fins : ils peuvent directement se mettre en premier étage de filtration.
Quel est le rôle du filtre passe-bas ?
Le filtre passe–bas a pour fonction de détecter les hautes fréquences, de les éliminer et de ne laisser passer que les basses fréquences. Exemple : Un filtre passe–bas peut être numérique ou contenir des composants électroniques.
Pourquoi utiliser un filtre passe-bas ?
Aussi appelée filtre anti crènelage, le filtre passe–bas sert principalement à éviter les phénomènes de moiré et la détérioration des couleurs dues aux ondes hautes fréquences. Il sert aussi à éviter les informations hautes fréquences des images.
Comment montrer qu’un filtre est passé bas ?
Filtre idéal
Un filtre passe–bas idéal a un gain constant dans sa bande passante et un gain nul dans la bande coupée. La transition entre les deux états est instantanée.
Comment choisir la fréquence de coupure ?
Que ce soit pour un filtre passe-haut ou passe-bas, la fréquence de coupure se calcule avec la formule suivante : Dans laquelle f est en Hz, R en ohms et C en Farad. exemple : avec R = 200 ohms et C = 5µF la fréquence de coupure est de 159 Hz.
Comment choisir la fréquence de coupure d’un filtre ?
La fréquence f0 pour laquelle G = Gmax – 3dB est appelée fréquence de coupure à -3dB du filtre. L’exemple choisi est celui d’un circuit CR.
Comment déterminer la nature d’un filtre sans calcul ?
Re : déterminer fonction d’un filtre sans calcul
En base fréquence l’entrée + est reliée à la masse par une résistance. Donc, sortie nulle. En haute fréquence, l’entrée + est reliée à la masse par un court-circuit (la capa). Comme l’autre capa n’est reliée qu’à des résistances, l’entrée + est à la masse.
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Filtre passe-haut — Wikipédia
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Filtre idéal[modifier modifier le code]
Filtre passe-haut analogique[modifier modifier le code]
Voir aussi[modifier modifier le code]
Les filtres du premier et du second ordre
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E5.6. Filtre passe-haut du second ordre. \ kholaweb
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filtre passe haut second ordre
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Filtres passifs du second ordre
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filtre passe haut second ordre
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Filtres passifs du 1er ordre | Cours d’électronique
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Filtre passe-bas
Filtre passe-haut
Cours d’électronique physique concepts fondamentaux et applications
RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ
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Fonction de transfert
Filtrage passe-haut
Filtrage passe-bas
Filtre passe-bande
Stabilité
Fonction de transfert
Filtrage passe-haut
Filtrage passe-bas
Filtre passe-bande
Stabilité
Filtres Électronique – Cours d’électronique
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I Introduction
II Filtres passifs
III Complément de cours
Filtre passe-haut
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Un filtre passe-haut est un filtre qui laisse passer les hautes fréquences et qui atténue les basses fréquences c’est-à-dire les fréquences inférieures à la fréquence de coupure
Filtre parfait
Filtre passe-haut analogique
Applications
Voir aussi
filtre passe haut second ordre
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Électronique/Les filtres du premier et second ordre — Wikilivres
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Les filtres passifs du premier et second ordre[modifier modifier le wikicode]
Les filtres actifs[modifier modifier le wikicode]
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filtre passe haut second ordre
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Filtre passe-haut — Wikipédia
Image sur laquelle a été appliqué un filtre passe-haut (résultat à droite)
Un filtre passe-haut (en anglais, high-pass filter ou HPF) est un filtre qui laisse passer les hautes fréquences et qui atténue les basses fréquences, c’est-à-dire les fréquences inférieures à la fréquence de coupure. Il pourrait également être appelé filtre coupe-bas. Le filtre passe-haut est l’inverse du filtre passe-bas et ces deux filtres combinés forment un filtre passe-bande.
Le concept de filtre passe-haut est une transformation mathématique appliquée à des données (un signal). L’implémentation d’un filtre passe-haut peut se faire numériquement ou avec des composantes électroniques. Cette transformation a pour fonction d’atténuer les fréquences inférieures à sa fréquence de coupure f c {\displaystyle f_{c}} et ce, dans le but de conserver uniquement les hautes fréquences. La fréquence de coupure du filtre est la fréquence séparant les deux modes de fonctionnement idéaux du filtre : bloquant ou passant.
Le filtre idéal est le filtre théorique capable de modifier de façon immédiate son gain (de 1 à 0 ou de 0 à 1, en échelle linéaire) à sa fréquence dite de coupure. Dans la réalité, un filtre possède sa fréquence de coupure au gain Gmax -3 dB et avant ce gain croît de n × 20 d B {\displaystyle n\times 20dB} par décade (filtre d’ordre n {\displaystyle n} ).
Un filtre passe-haut peut être implémenté de façon analogique avec des composantes électroniques. Par conséquent, ce genre de filtre s’applique sur des signaux continus en temps réel. Les composantes et la configuration du circuit fixeront les différentes caractéristiques du filtre, telles que l’ordre, la fréquence de coupure et son diagramme de Bode. Les filtres analogiques classiques sont du premier ou du second ordre. Il existe plusieurs familles de filtres analogiques : Butterworth, Tchebychev, Bessel, elliptique, etc. L’implémentation des filtres de même famille se fait généralement en utilisant la même configuration de circuit, et ceux-ci possèdent la même forme de fonction de transfert, mais ce sont les paramètres de celle-ci qui changent, donc la valeur des composantes du circuit électrique.
Filtre passe-haut du premier ordre [ modifier | modifier le code ]
Un filtre passe-haut du premier ordre est caractérisé par sa fréquence de coupure f c {\displaystyle f_{c}} et par son gain dans la bande-passante K {\displaystyle K} . La fonction de transfert du filtre est obtenue en dénormalisant le filtre passe-haut normalisé en remplaçant ω n {\displaystyle \omega _{n}} par ω c / ω {\displaystyle \omega _{c}/\omega } ce qui donne la fonction de transfert suivante :
H ( j ω ) = v o v i = K j ω ω c 1 + j ω ω c {\displaystyle H(j\omega )={\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {Kj{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}{1+j{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}}}
où
ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f}
ω c = 2 π f c {\displaystyle \omega _{c}=2\pi f_{c}}
Le module et la phase de la fonction de transfert sont égaux à :
| H ( ω ) | = | v o v i | = K ω ω c > 1 + > ( ω ω c ) 2 > > {\displaystyle |H(\omega )|=\left|{\frac {v_{o}}{v_{i}}}\right|={\frac {K{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}{\sqrt {1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2}}}}}
ϕ ( ω ) = arg H ( j ω ) = π 2 − arg ( 1 + j ω ω c ) = π 2 − arctan ( ω ω c ) {\displaystyle \phi (\omega )=\arg H(j\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arg \left(1+j{\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}
Il y a plusieurs méthodes pour implémenter ce filtre. Une réalisation active et réalisation passive sont ici présentées. K est le gain du filtre.
Schéma d’un filtre passe-haut
La manière la plus simple de réaliser physiquement ce filtre est d’utiliser un circuit RC. Comme son nom l’indique, ce circuit est constitué d’un condensateur de capacité C {\displaystyle C} et d’une résistance R {\displaystyle R} . Ces deux éléments sont placés en série avec la source v i {\displaystyle v_{i}} du signal. Le signal de sortie v o {\displaystyle v_{o}} est récupéré aux bornes de la résistance. Le circuit est identique à celui du filtre passe-bas mais les positions de la résistance et du condensateur sont inversées. Pour retrouver la fonction de transfert de ce filtre, il faut travailler dans le domaine de Laplace en utilisant les impédances des éléments. Avec cette technique, le circuit devient un simple diviseur de tension, et on obtient :
H ( j ω ) = v o v i = j R C ω 1 + j R C ω {\displaystyle H(j\omega )={\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {jRC\omega }{1+jRC\omega }}}
Dans cette équation, j {\displaystyle j} est un nombre complexe, tel que j² = -1, et ω {\displaystyle \omega } est la pulsation du circuit ou fréquence radiale, exprimée en rad/s. Comme la fréquence de coupure d’un circuit RC est :
f c = 1 2 π R C {\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}} ω c = 1 R C {\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{RC}}}
Ici ω c {\displaystyle \omega _{c}} , la pulsation de coupure, est également la pulsation propre ω o {\displaystyle \omega _{o}} du circuit, elle est également l’inverse de la constante de temps τ {\displaystyle \tau } du circuit. Ainsi, on obtient bel et bien la fonction de transfert typique du filtre passe-haut du premier ordre.
On retrouve avec les grandeurs physiques observables utilisées dans les diagrammes de Bode :
1er ordre) Diagramme de Bode d’un filtre passe haut (système duordre)
Le gain en décibels :
G d B ( ω ) = 20 ⋅ log | H ( j ω ) | = 20 ⋅ log ( ω ω c ) − 10 ⋅ log ( 1 + > ( ω ω c ) 2 > ) {\displaystyle G_{dB}(\omega )=20\cdot \log |H(j\omega )|=20\cdot \log \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)-10\cdot \log \left(1+{\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}^{2}\right)}
La phase en radians :
ϕ ( ω ) = arg H ( ω ) = π 2 − arg ( 1 + j ω ω c ) {\displaystyle \phi (\omega )=\arg H(\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arg \left(1+j{\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}
= π 2 − arctan ( ω ω c ) {\displaystyle ={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)}
On distingue alors deux situations idéales :
Lorsque ω ≪ ω c {\displaystyle \omega \ll \omega _{c}}
G d B ∼ 20 ⋅ log ( ω ω c ) {\displaystyle G_{dB}\sim 20\cdot \log \left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)} ϕ ≃ 90 {\displaystyle \phi \simeq 90}
Lorsque ω ≫ ω c {\displaystyle \omega \gg \omega _{c}}
G d B ≃ 0 {\displaystyle G_{dB}\simeq 0} ϕ ≃ 0 {\displaystyle \phi \simeq 0}
On remarque que pour ω = ω c {\displaystyle \omega =\omega _{c}} , on a G d B {\displaystyle G_{dB}} = -3 dB.
Filtre du second ordre [ modifier | modifier le code ]
Un filtre passe-haut du second ordre est caractérisé par sa fréquence propre f o {\displaystyle f_{o}} et par le facteur de qualité Q. Il est représenté par la fonction de transfert suivante :
H ( j ω ) = v o v i = − K ( ω ω 0 > ) 2 > 1 − ( ω ω 0 > ) 2 > + j ( ω ω 0 ) Q {\displaystyle H(j\omega )={\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {-K({\frac {\omega }{\omega _{0}}})^{2}}{1-({\frac {\omega }{\omega _{0}}})^{2}+j{\frac {({\frac {\omega }{\omega _{0}}})}{Q}}}}}
où
ω = 2 π f > {\displaystyle \omega =2\pi f\,}
ω o = 2 π f o > {\displaystyle \omega _{o}=2\pi f_{o}\,}
Le module de la fonction de transfert est donc égal à :
| H ( ω ) | = | v o v i | = | K | ( ω ω 0 > ) 2 > > ( 1 − ( ω ω 0 > ) 2 > > ) 2 > + ( ω ω 0 Q > ) 2 > > {\displaystyle |H(\omega )|={\biggl |}{\frac {v_{o}}{v_{i}}}{\biggr |}={\frac {|K|{\Bigl (}{\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\Bigr )}^{2}}{\sqrt {{\Bigl (}1-({\frac {\omega }{\omega _{0}}})^{2}{\Bigr )}^{2}+{\Biggl (}{\frac {\frac {\omega }{\omega _{0}}}{Q}}{\Biggr )}^{2}}}}}
La manière la plus simple de réaliser physiquement ce filtre est d’utiliser un circuit RLC. Comme son nom l’indique, ce circuit est constitué d’une résistance R {\displaystyle R} , d’un condensateur de capacité C {\displaystyle C} et d’une bobine d’inductance L {\displaystyle L} . Ces trois éléments sont placés en série avec la source v i {\displaystyle v_{i}} du signal. Le signal de sortie v o {\displaystyle v_{o}} est récupéré aux bornes de la bobine. Pour retrouver la fonction de transfert de ce filtre, il faut travailler dans le domaine de Laplace en utilisant les impédances des éléments. Avec cette technique, le circuit devient un simple diviseur de tension, et on obtient :
H ( j ω ) = v o v i = − L C > ω 2 > 1 + j R C ω − L C > ω 2 > {\displaystyle H(j\omega )={\frac {v_{o}}{v_{i}}}={\frac {-LC\omega ^{2}}{1+jRC\omega -LC\omega ^{2}}}}
Avec :
ω o = 1 > L C > {\displaystyle \omega _{o}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}
Q = 1 R > L C > {\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}}
Le module de ce circuit est :
| H ( ω ) | = | v o v i | = | K | L C > ω 2 > > > R 2 > > C 2 > > ω 2 > + ( 1 − L C > ω 2 > > ) 2 > > {\displaystyle |H(\omega )|={\biggl |}{\frac {v_{o}}{v_{i}}}{\biggr |}={\frac {|K|LC\omega ^{2}}{\sqrt {R^{2}C^{2}{\omega }^{2}+{\big (}1-LC{\omega }^{2})^{2}}}}}
Sur les autres projets Wikimedia :
Les filtres du premier et du second ordre
Les filtres du premier et du second ordre
La fonction de transfert Vs/Ve des filtres, notée T, est appelée ici « la transmittance » du filtre, elle est donnée sous forme complexe, et n’est valable que dans les conditions suivantes :
la tension d’entrée Ve du filtre est un signal sinusoïdal
dans le cas des filtres passifs, le filtre est à vide (courant de sortie nul)
dans le cas des filtres actifs, les A.L.I. sont idéaux
Pour chaque filtre, un fichier au format ISIS Proteus 7.8 est disponible afin de simuler le comportement en fréquence du filtre dans ISIS Proteus 7.8 et d’obtenir le diagramme de Bode du filtre.
Animation interactive :
Voici une animation interactive qui vous permettra de bien comprendre le fonctionnement d’un filtre passe bas (cellule RC) et d’un filtre passe haut (cellule CR) du premier ordre .
Filtre passe bas : Filtre passe haut :
Pour télécharger cette animation (en un fichier .EXE fonctionnant sous Windows) afin de l’utiliser chez vous, cliquez ici.
Utilisation de cette animation :
la sinusoïde blanche représente la tension d’entrée du filtre : Ve
la sinusoïde verte est la tension de sortie du filtre à vide : Vs
pour faire varier la fréquence de Ve , baladez le curseur de votre souris sur la ligne rouge horizontale, entre Fréquence MIN et Fréquence MAX
vous pouvez changer de filtre en cliquant sur les boutons Passe bas et Passe haut
vous pouvez afficher seulement Ve en cliquant sur Cacher Vs
Remarque : lorsque vous déplacez le curseur de votre souris sur la ligne rouge horizontale, entre Fréquence MIN et Fréquence MAX, seule la fréquence de Ve varie. En effet, l’amplitude et la phase à l’origine de Ve restent constantes. Comme la phase à l’origine de Ve est nulle, le déphasage de Vs par rapport à Ve est égal à la phase à l’origine de Vs : il est appelé Phi sur l’animation, et est expimé en radian. Pour mettre à jour l’affichage de Phi, vous devez appuyer sur le bouton gauche de votre souris.
Pour le filtre passe bas, Phi est négatif et varie entre 0 et – pi/2 : Vs est en retard par rapport à Ve
Pour le filtre passe haut, Phi est positif et varie entre 0 et pi/2 : Vs est en avance par rapport à Ve
Voici les équations de Ve et de Vs :
: amplitude unitaire constante et phase à l’origine nulle
: A (l’amplitude) et Phi (la phase à l’origine) varient en fonction de la fréquence de Ve
Filtre passe bas passif du premier ordre (ou cellule RC) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode
Nous supposons que le filtre est à vide. Ve est la tension sinusoïdale d’entrée, et Vs est la tension sinusoïdale de sortie.
La phase à l’origine de Ve est nulle, et son amplitude maximale est unitaire :
L’amplitude maximale de Vs est notée A, et sa phase à l’origine est notée Phi :
Calcul de Vs en fonction de Ve :
Comme le filtre est à vide (le courant de sortie est nul), on peut appliquer le pont diviseur de tension pour calculer Vs en fonction de Ve. Le pont diviseur nous donne :
La transmittance (notée T complexe) est le rapport Vs / Ve :
On en déduit que :
Sachant que l’impédance de la résistance vaut :
Et que l’impédance du condensateur vaut :
On en déduit que la transmittance du filtre passe bas est :
Et en multipliant le numérateur et le dénominateur par on obtient :
Appelons oméga zéro le rapport 1/RC :
La transmittance du filtre passe bas du premier ordre s’écrit alors :
Calcul du module et de l’argument de la transmittance complexe:
Le module de la transmittance complexe est :
Et son argument est :
Faisons tendre oméga vers zéro et vers l’infini :
Comportement du filtre en basse fréquence (lorsque oméga tend vers zéro) :
On en déduit que :
Comportement du filtre en haute fréquence (lorsque oméga tend vers l’infini) :
On en déduit que :
Le module de la transmittance varie donc entre 0 et 1, et l’argument de la transmittance varie entre -Pi/2 et 0, en fonction de la fréquence :
Vous pouvez tester expérimentalement ces intervales de valeur en faisant varier la fréquence sur l’animation qui est en haut de cette page.
Filtre passe haut passif du premier ordre (ou cellule CR) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode
Calcul de Vs en fonction de Ve :
Comme le filtre est à vide (le courant de sortie est nul), on peut appliquer le pont diviseur de tension pour calculer Vs en fonction de Ve. Le pont diviseur nous donne :
La transmittance (notée T complexe) est le rapport Vs / Ve :
On en déduit que :
Sachant que l’impédance de la résistance vaut :
Et que l’impédance du condensateur vaut :
On en déduit que la transmittance du filtre passe haut est :
Et en divisant le numérateur et le dénominateur par R on obtient :
Appelons oméga zéro le rapport 1/RC :
La transmittance du filtre passe haut du premier ordre s’écrit alors :
Calcul du module et de l’argument de la transmittance complexe:
Le module de la transmittance complexe est :
Et son argument est :
Faisons tendre oméga vers zéro et vers l’infini :
Comportement du filtre en basse fréquence (lorsque oméga tend vers zéro) :
On en déduit que :
Comportement du filtre en haute fréquence (lorsque oméga tend vers l’infini) :
On en déduit que :
Le module de la transmittance varie donc entre 0 et 1, et l’argument de la transmittance varie entre 0 et Pi/2, en fonction de la fréquence :
Vous pouvez tester expérimentalement ces intervales de valeur en faisant varier la fréquence sur l’animation qui est en haut de cette page.
Les filtres actifs du premier ordre :
Chaque filtre est un quadripôle avec :
Ve = potentiel du point E par rapport à la masse = la tension d’entrée
= potentiel du point par rapport à la masse = la tension d’entrée Vs = potentiel du point S par rapport à la masse = la tension de sortie
= potentiel du point par rapport à la masse = la tension de sortie Vs/Ve = la transmittance T du filtre
Le filtre passe bas
Sa structure électronique à base d’A.L.I. est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode
Sa transmittance complexe est :
Avec la pulsation ω 0 qui vaut :
Le filtre passe haut
Sa structure électronique à base d’A.L.I. est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode
Sa transmittance complexe est :
Avec la pulsation ω 0 qui vaut :
Le filtre passe bande
Sa structure électronique à base d’A.L.I. est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Sa transmittance complexe est :
Avec la pulsation ω 0 qui vaut :
Le filtre coupe bande
Sa structure électronique à base d’A.L.I. est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode
Sa transmittance complexe est :
Avec :
Les filtres passe tout (ou circuits déphaseurs)
La particularité des filtres passe tout est que quelque soit la fréquence du signal d’entrée Ve le module de la transmittance complexe sera toujours égal à 1. Si la fréquence de Ve varie, seul le déphasage entre Ve et Vs varie, d’o&; le nom de “circuits déphaseurs” :
Circuit déphaseur à avance de phase :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Sa transmittance complexe est :
Circuit déphaseur à retard de phase :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Sa transmittance complexe est :
Transmittances des filtres du second ordre :
Dans les 5 transmittances complexes ci-dessous le dénominateur est identique. La grandeur z est le coefficient d’amortissement du filtre (indique si le filtre est résonnant ou non), et 2.z est l’inverse du facteur de qualité Q du filtre :
z = le coefficient d’amortissement 2.z=1/Q Q = le facteur de qualité
Remarque : z et Q sont des grandeurs sans unité.
Transmittance du filtre passe bas du second ordre :
Transmittance du filtre passe haut du second ordre :
Transmittance du filtre passe bande du second ordre :
Transmittance du filtre coupe bande du second ordre :
Transmittance du filtre passe tout du second ordre :
Structures électroniques des filtres passifs du second ordre :
Chaque filtre est un quadripôle avec :
Ve = potentiel du point E par rapport à la masse = la tension d’entrée
= potentiel du point par rapport à la masse = la tension d’entrée Vs = potentiel du point S par rapport à la masse = la tension de sortie
= potentiel du point par rapport à la masse = la tension de sortie Vs/Ve = la transmittance T du filtre
Remarque : dans tous les cas ci-dessous on a :
Filtre passe bas du second ordre (2 cellules RC en cascade) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Transmittance des 2 cellules RC en cascade dans le cas o&; C1=C2=C et R1=R2=R :
Filtre passe haut du second ordre (2 cellules CR en cascade) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Filtre passe bas du troisième ordre (3 cellules RC en cascade) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Filtre passe haut du troisième ordre (3 cellules CR en cascade, appelé aussi réseau déphaseur) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Transmittance du réseau déphaseur dans le cas o&; C1=C2=C3=C et R1=R2=R3=R :
Rappel :
Filtre passe bande (appelé aussi pont de Wien) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Transmittance du pont de Wien dans le cas o&; C1=C2=C et R1=R2=R :
A vide, le pont de Wien est équivalent aux deux filtres suivants :
Filtre passe bande (cellule CR suivie d’une cellule RC, équivalent à vide au pont de Wien) :
Filtre passe bande (cellule RC suivie d’une cellule CR, équivalent à vide au pont de Wien) :
Filtre coupe bande (réjecteur de bande) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Transmittance dans le cas o&; C1=C2=C, R1=2.R et R2=R/2 :
Filtre coupe bande (réjecteur de bande) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Transmittance dans le cas o&; C1=C2=C et R1=R2=R :
Filtre sélectif (structure en double T) :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Transmittance du filtre en double T dans le cas o&; :
R1=R2=R
C1=C2=C
C3=2.C
R3=R/2
Rappel :
Les filtres actifs du second ordre :
La structure de Rauch
La structure de Rauch est un montage électronique utilisant 5 dipôles d’admittance Y1 à Y5 (résistances ou condensateurs) autour d’un A.L.I. :
◊ si un dipôle est une résistance R son admittance est Y=1/R ◊ si un dipôle est un condensateur C son admittance complexe est Y=j.C.ω
Structure de Rauch
Dans le cas général, la transmittance de la structure de Rauch en fonction des 5 admittances Y1 à Y5 est la suivante :
Remarque : étant donné qu’il y a un seul terme au numérateur de la transmittance, la structure de Rauch permet de faire seulement des filtres passe bas, passe haut et passe bande. Les filtres coupe bande (2 termes au numérateur) et passe tout (3 termes au numérateur) ne sont pas réalisables avec la structure de Rauch.
Filtre passe bas à structure de Rauch
Sa structure électronique à base d’A.L.I. est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Sa transmittance complexe est obtenue avec :
Y1=Y3=Y4=1/R Y2=j.C2.ω Y5=j.C1.ω
La forme générale de la transmittance complexe du filtre passe bas du second ordre est :
Avec dans le cas particulier de la structure de Rauch :
Filtre passe haut à structure de Rauch
Sa structure électronique à base d’A.L.I. est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Sa transmittance complexe est obtenue avec :
Y1=Y3=Y4=j.C.ω Y2=1/R2 Y5=1/R1
La forme générale de la transmittance complexe du filtre passe haut du second ordre est :
Avec dans le cas particulier de la structure de Rauch :
Filtre passe bande à structure de Rauch
Sa structure électronique à base d’A.L.I. est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Sa transmittance complexe est obtenue avec :
Y3=Y4=j.C.ω Y1=1/R1 Y2=1/R2 Y5=1/R3
La forme générale de la transmittance complexe du filtre passe bande du second ordre est :
Avec dans le cas particulier de la structure de Rauch :
Remarque : Δω est la largeur de la bande passante à -3 dB.
Dans le cas du filtre passe bande, le facteur de qualité Q est :
La structure de Sallen & Key
La structure de Sallen & Key est un montage électronique utilisant 4 dipôles d’impédance Z1 à Z4 (résistances ou condensateurs) autour d’un A.L.I. branché en suiveur :
◊ si un dipôle est une résistance R son impédance est Z=R ◊ si un dipôle est un condensateur C son impédance complexe est Z=1/(j.C.ω)
Structure de Sallen & Key
Remarque : le montage suiveur à A.L.I. peut être remplacé par un amplificateur non inverseur.
Filtre passe bas à structure de Sallen & Key
Sa structure électronique à base d’A.L.I. branché en montage suiveur est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
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Sa transmittance complexe est :
On en déduit que pour ce filtre on a :
Remarque : comme le coefficient d’amortissement z est unitaire, le dénominateur de la transmittance est le carré d’une somme et peut alors se factoriser ainsi :
Filtre passe haut à structure de Sallen & Key
Sa structure électronique à base d’A.L.I. branché en montage suiveur est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode
Sa transmittance complexe est :
On en déduit que pour ce filtre on a :
Remarque : comme le coefficient d’amortissement z est unitaire, le dénominateur de la transmittance est le carré d’une somme et peut alors se factoriser ainsi :
Filtres légèrement résonnant pouvant servir de passe bande
Les deux filtres actifs suivants sont obtenus avec 2 cellules RC associées à un A.L.I. branché en suiveur. Bien que leur montage électronique soit similaire à la structure de Sallen & Key, ces filtres présentent comme différence essentielle une réponse en fréquence légèrement résonnante sur le diagramme de Bode. Ces filtres peuvent alors servir dans certains cas de filtres passe bande.
Filtre passe bas légèrement résonnant
Sa structure électronique à base d’A.L.I. branché en montage suiveur est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode
Sa transmittance complexe est :
Avec :
On peut remarquer que le coefficient d’amortissement de ce filtre est unitaire : z=1
Remarque : vu la forme de sa transmittance (avec ses 2 termes au numérateur), ce filtre n’est ni un filtre passe bas du second ordre, ni un filtre passe haut du second ordre, ni un filtre passe bande du second ordre. En fait, on peut remarquer que la transmittance de ce filtre est la somme de deux transmittances :
◊ la transmittance d’un filtre passe bas de second ordre (d’o&; le terme de degré 0 au numérateur) ◊ la transmittance d’un filtre passe bande de second ordre (d’o&; le terme de degré 1 au numérateur)
Filtre passe haut légèrement résonnant
Sa structure électronique à base d’A.L.I. branché en montage suiveur est :
Diagramme de Bode (en vert le gain et en rouge la phase) :
Télécharger le fichier ISIS Proteus de ce filtre avec son diagramme de Bode
Sa transmittance complexe est :
Avec :
On peut remarquer que le coefficient d’amortissement de ce filtre est unitaire : z=1
Remarque : vu la forme de sa transmittance (avec ses 2 termes au numérateur), ce filtre n’est ni un filtre passe bas du second ordre, ni un filtre passe haut du second ordre, ni un filtre passe bande du second ordre. En fait, on peut remarquer que la transmittance de ce filtre est la somme de deux transmittances :
◊ la transmittance d’un filtre passe haut de second ordre (d’o&; le terme de degré 2 au numérateur) ◊ la transmittance d’un filtre passe bande de second ordre (d’o&; le terme de degré 1 au numérateur)
Exemple d’activité pédagogique autour des filtres :
Le TP suivant permet d’expérimenter la fonction filtrage dans ISIS Proteus :
Modélisation et simulation_Fonction filtrage.doc
Et voici les fichiers ISIS Proteus utilisés dans le TP :
Modulation par sommateur 2 signaux_eleve.DSN
Modulation par sommateur 2 signaux_PROF2.DSN
sommation de 3 signaux2 filtres 2eme ordre passebande eleve .DSN
E5.6. Filtre passe-haut du second ordre. \ kholaweb
E5.6. Filtre passe-haut du second ordre.
1. Fonction de transfert.
En utilisant la notion de pont diviseur de tension, on obtient :
Or :
La fonction de transfert s’écrit alors :
2. Courbe de réponse en gain.
Le gain exprimé en décibels a pour expression :
La courbe de réponse en gain admet :
en basse fréquence :
une asymptote passant par l’origine de pente + 40 dB/ décade
G BF = 40 log x = 40 X
en haute fréquence :
une asymptote horizontale à G HF = 0 dB
Le diagramme asymptotique est la réunion des deux asymptotes haute et basse fréquence limitées à leur point de concours.
La qualité de cette représentation s’évalue en calculant en x = 1 l’écart entre la représentation asymptotique et la réponse en gain :
Cet écart peut prendre une valeur élevée si l’amortissement du circuit est faible, c’est à dire si le facteur de qualité Q du circuit est grand.
Il faut donc préciser les variations de la courbe de réponse en gain suivant la valeur du facteur de qualité.
Soit :
Cette fonction passe par un extremum s lorsque sa dérivée s’annule :
On obtient :
pour Q > .
L’extremum est en fait un maximum de coordonnées pour Q > :
Dans le cas où Q >> 1, on obtient pour le maximum :
On obtient finalement comme courbe de réponse en gain :
3. Courbe de réponse en phase.
L’argument du dénominateur de la fonction de transfert est donnée par :
pour x = 1
Pour x > 1
Pour x <1 Le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d'entrée est donné par : La courbe de réponse en phase passe le point ( X = 0, π/2 ) et admet :
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