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소인수분해를 이용하여 약수 구하기, 약수 개수 구하기 – 수학방
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소인수분해를 이용하여 약수 구하기 약수 개수 구하기
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소인수분해로 약수의 개수 구하는 법
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- Most searched keywords: Whether you are looking for kissgirl.eglioos.com 이런 방법으로는 어림도 없습니다. 어떤 수의. 약수 구하는 공식을 알아 볼까요. 먼저 그 수를 소인수 분해 합니다. 72 = 2³× 3². 그 다음에. 72의 약수를 전부 다 구하라 ! 72 의 약수는 전부 몇 개인가 ? 72 의 약수들을 전부 합치면 얼마인가 ? 이런 문제가 나왔어요 하나하나 치근차근 늘어 놓으면 1..수학에 관해 더 많은 걸 원하면 bismarck12..kissgirl.eglioos.com
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소인수분해를 이용하여 약수 구하기, 약수 개수 구하기
초등학교에서는 약수를 구할 때, 곱하기를 이용해서 구했어요. 중학생이니까 조금 더 세련된 방법으로 약수를 구해야겠죠?
약수를 구하는 것뿐 아니라 약수의 개수를 구하는 방법도 공부할 거예요. 약수를 모두 구하지 않고도 약수의 개수를 구하는 방법이요.
두 가지 모두 소인수분해를 통해서 구하는 거예요. 소인수분해를 한 후에 거듭제곱으로 나타내는데, 거듭제곱과 약수와의 관계를 잘 이해해야 해요.
소인수분해를 이용하여 약수 구하기
72의 약수를 구해보죠. 72 = 1 × 72 = 2 × 36 = 3 × 24 = 4 × 18 = 6 × 12 = 8 × 9
72의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72이고, 12개네요.
그런데 만약에 72가 아니라 100이 넘어가는 수라면 하나씩 찾기가 너무 어렵겠죠? 이럴 때 소인수분해를 이용하면 약수를 쉽게 구할 수 있어요.
일단 72를 소인수분해하면 23 × 32이 나와요.
72는 23과 32이 곱해진 걸 알 수 있어요. 23의 약수를 따로 구하고, 32의 약수를 따로 구해서 각각을 서로 곱해주면 72의 약수가 되는 거예요. 23의 약수는 직접 계산할 필요없이 지수를 이용해서 구할 수 있어요.
거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구할 수 있어요. 예를 들어 2100의 약수는 2, 22, 23, 24, … 이렇게 쭉 나가다가 299, 2100이 되는 거죠. 그리고 모든 수의 약수인 1도 함께 써주면 돼요.
23의 약수는 1, 2, 22, 23이에요.
32의 약수는 뭘까요? 일단 1을 쓰고, 3, 32이에요.
1, 2, 22, 23과 1, 3, 32을 각각 곱하면 돼요. 표를 이용해서 곱해보죠.
소인수분해를 이용해서 72의 약수 구하기 × 1 2 22 23 1 1 2 4 8 3 3 6 12 24 32 9 18 36 72
표를 잘 보면 곱하기를 이용해서 구했던 약수들과 똑같죠? 처음이라 이 방법이 복잡해 보일 수 있지만 어느 정도 숙달만 되면 곱하기를 이용해서 구하는 것보다 더 정확하고 빨리 약수를 구할 수 있어요.
소인수분해를 이용해서 약수 구하기
주어진 수를 소인수분해 → 거듭제곱의 약수를 모두 구하여 서로 곱한다.
135의 약수를 모두 구하여라.
먼저 135를 소인수분해부터 해야겠죠?
135 = 5 × 3 × 3 × 3 = 33 × 5
소인수분해를 이용해서 135의 약수 구하기 × 1 3 32 33 1 1 3 9 27 5 5 15 45 135
135의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135네요.
이번에는 150의 약수를 구해볼까요? 150을 소인수분해하면 150 = 2 × 3 × 52이죠.
소인수가 3개인데, 이때는 먼저 소인수 2, 3의 약수를 이용해서 150의 약수를 구하고, 이렇게 구한 약수와 남은 소인수 5의 약수들을 곱해서 150의 약수를 구해요.
소인수분해를 이용해서 150의 약수구하기 1단계 × 1 2 1 1 2 3 3 6
2와 3을 이용해서 약수를 구했더니 위 표처럼 나왔네요. 이 표에서 구한 약수 1, 2, 3, 6과 소인수 5의 약수 1, 5, 52을 각각 곱해서 150의 약수를 구해보죠.
소인수분해를 이용해서 150의 약수구하기 2단계 × 1 2 3 6 1 1 2 3 6 5 5 10 15 30 52 25 50 75 150
150의 약수는 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150으로 총 12개네요.
소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기
이번에는 약수를 구하는 게 아니라 약수의 개수만 구하는 거예요.
물론 약수를 모두 구하면 약수의 개수도 알 수 있죠. 하지만 약수를 구하지 않고도 약수의 개수를 구할 수 있어요.
위 예제의 표를 보세요. 135의 약수의 개수는 8개에요. 표의 칸 수가 몇 개인가요? 8개죠. 바로 이걸 이용해서 약수의 개수를 구하는 거예요.
135 = 33 × 5에요. 33의 약수의 개수는 1, 3, 32, 33이므로 4개, 5의 약수의 개수는 1, 5이므로 2개죠. 각각의 약수의 개수인 4와 2를 곱하면 8이고 이게 바로 135의 약수의 개수에요.
소인수분해를 이용해서 약수의 개수를 구하는 방법은 지수를 이용하는 거에요.
거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구한다고 했어요. 33의 약수는 3, 32, 33과 모든 수의 약수 1을 해서 4개죠. 그럼 약수의 개수는 지수의 개수보다 1개 더 많죠? 바로 이걸 이용하는 거지요.
135 = 33 × 5에서 3의 지수 3에 1을 더하고, 5의 지수 1에 1을 더해요. (3 + 1) × (1 + 1) = 8
72 = 23 × 32이에요. 약수의 개수는 2의 지수 3에 1을 더한 것과 3의 지수 2에 1을 더해서 곱한 (3 + 1) × (2 + 1) = 12(개)가 되는 거죠.
소인수분해를 이용해서 약수 개수 구하기: 각 소인수의 지수에 1을 더해서 서로 곱함
소인수분해 → am × bn → (m + 1) × (n + 1)
다음 수의 약수의 개수를 구하여라.
(1) 36 (2) 23 × 3 × 52
(1)번 36을 소인수분해하면 22 × 32이 나오네요. 약수의 개수는 각 소인수의 지수에 + 1해서 곱하는 거니까 (2 + 1) × (2 + 1) = 9(개)에요.
(2)번은 소인수분해를 한 게 3개의 소인수로 되어 있어요. 소인수의 개수가 2개든 3개든 상관없어요. 각 소인수의 지수에 + 1 해서 곱해주는 건 똑같아요. 소인수 3에는 지수가 안 쓰여 있는데 이건 지수가 1이란 걸 말하죠? (3 + 1) × (1 + 1) × (2 + 1) = 24(개)
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정리해볼까요 소인수분해를 이용하여 약수 구하기 a m × b n 의 약수의 개수 = (m + 1) × (n + 1)
× b 의 약수의 개수 = (m + 1) × (n + 1) 1, a, a2, … , am와 1, b, b2 … , bn를 각각 곱하여 약수를 구한다.
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소인수분해로 약수의 개수 구하는 법
일단 약수는 “나누었을 때 나머지가 0이 되는 수”를 말한다. 예를 들어 숫자 8은, 1로 나누었을 때 나머지가 0이고, 2로 나누었을 때 나머지가 0이고, 4로 나누었을 때 나머지가 0이고, 8로 나누었을 때 나머지가 0이기에, 숫자 8의 약수는 1, 2, 4, 8이다. 그래서 8의 약수는 4개라는 것을 알 수 있다. 이렇게 약수의 개수는 나누기를 활용해서 구하는데, 다만 숫자가 클 경우에는 약수의 개수를 구하기가 힘들어진다.
예를 들어 숫자 512의 약수는 몇 개일까? 아마도 구하기가 힘들 것이다. 왜냐하면 숫자 8의 경우에는 나누기를 몇 번만 하면 되지만, 숫자 512의 경우에는 나누기를 많이 해야 한다. 그래서 숫자가 클 경우에는 약수의 개수를 구하기가 힘든데, 다만 이때 소인수분해를 활용하면 약수의 개수를 구하기가 쉬워진다. 왜냐하면 수학에는 여러 규칙이 있는데, 소인수분해와 약수 간에도 규칙이 하나 있다. 그래서 거듭제곱 숫자에 +1을 하면 약수의 개수가 된다. 예를 들어 숫자 8을 소인수분해하면 2 3 이 나오는데, 거듭제곱인 3에 +1을 하면 약수의 개수가 된다. 그래서 숫자 8의 약수는 4개라는 것을 알 수 있다.
그러면 숫자 512의 약수의 개수도 쉽게 구할 수 있는데, 먼저 512를 소인수분해하면 2 9 이 나오므로, 거듭제곱 9에 +1을 해보면 10이 된다. 그래서 숫자 512의 약수는 10개라는 것을 알 수 있다. 이렇게 소인수분해를 활용하면, 숫자가 크더라도 약수의 개수를 구하기가 쉬워진다.
그런데 소인수분해를 해보면, 거듭제곱이 2개인 경우도 있다. 예를 들어 숫자 72를 소인수분해하면, 2 3 ×3 2 으로 거듭제곱이 2개나 된다. 하지만 이러한 경우에도 구하는 법은 비슷한데, 그냥 각각의 거듭제곱에 +1을 한 다음, 서로 곱해주면 된다. 그래서 (3+1)×(2+1)=12가 나오므로, 숫자 72의 약수는 12개라는 것을 알 수 있다.
마찬가지로 거듭제곱이 3개 이상인 경우도 동일하다. 예를 들어 숫자 1800을 소인수분해하면, 2 3 ×3 2 ×5 2 으로 거듭제곱이 3개나 되는데, 그냥 각각의 거듭제곱에 +1을 한 다음, 서로 곱해주면 된다. 그래서 (3+1)×(2+1)×(2+1)=36이 나오므로, 숫자 1800의 약수는 36개라는 것을 알 수 있다.
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72의 약수를 전부 다 구하라 !
72 의 약수는 전부 몇 개인가 ?
72 의 약수들을 전부 합치면 얼마인가 ?
이 런 문제가 나왔어요
하나하나 치근차근 늘어 놓으면
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 ,18 ,24 , 36 , 72
72의 약수의 개수는 12 개
이 12 개 약수를 전부 합치면 195
그런데
이런 식으로 하나하나 늘어 놓는 것은
시간도 많이 걸리고
자칫하면 약수 중에 한 두 개를 빠뜨리게 됩니다
더구나
138915 의 약수를 모두 구하라 하는 식으로
큰 수의 약수 구하라는 문제가 나오면
이런 방법으로는 어림도 없습니다
어떤 수의
약수 구하는 공식을 알아 볼까요
먼저 그 수를 소인수 분해 합니다
72 = 2³× 3²
그 다음에
지수 크기 보다 하나 더 크게
각각 항을 만들어서 서로 곱합니다
무슨 소리냐 하면
72 = 2³× 3² 에서
2 의 지수는 3 이고
3 의 지수는 2 이죠
그걸 염두에 두고
지수 크기보다 하나 더 크게
각각 항을 만들어서 곱하면
(2³+2²+2¹+1) × (3² + 3¹+1)
4 개 3 개
저렇게 해서 곱하면 모두 12 개 수가 나옵니다
72 24 8 36 12 4 18 6 2 9 3 1
이것들 모두가 72 의 약수 입니다
그러니까
72 의 약수 개수는 12 개 이고
이 12 개 수를 모두 합친 195 가
72의 약수들을 모두 합친 값이죠
참고로
약수 12 개를 다 합칠려면 시간이 많이 걸리므로
(2³+2²+2¹+1) × (3² + 3¹+1)=답 위의 계산의 답이나 약수 12 개 합친 값이나 같으니까 위의 계산을 하는 것이 시간적으로 훨씬 빠릅니다
예를 들어서
138915 의 모든 약수를 구하라 하면
138915
= 7³× 9²×5¹
이렇게 소인수 분해를 합니다
그 다음에 지수 크기 보다 하나 더 크게 항을 만들어서 서로 곱합니다 7 의 지수는 3 이고 9 의 지수는 2 이고 5 의 지스는 1 이죠 지수 크기 보다 하나 더 크게 항을 만들어서 서로 곱하면 (7³+7²+7¹+1) × (9²+ 9¹+1 ) × (5¹+1) 4 개 3개 2개 이렇게 3 항을 곱하면 모두 24 개 숫자가 나오겠죠 그 24 개 수들 모두가 138915 의 약수들입니다 그러니까 138915 의 약수의 개수는 24 개 입니다 138915 의 약수를 전부합치면 얼마? 24 개의 약수를 하나하나 힘들게 합칠 필요는 없고 (7³+7²+7¹+1) × (9²+ 9¹+1 )× (5¹+1) = 답 바로 위의 계산의 답이나 약수 24 개를 합친 값이나 같으니까 바로 위의 계산을 하는 것이 시간적으로 훨씬 빠릅니다 ! 그리고 이렇게 해 주면 왜 약수의 개수나 합이 나오느냐 ! 그것은 자기 스스로 조금만 생각해보면 충분히알 수 있습니다 그것마저 설명한다면 인간의 사고기능을 빼앗아버려 인간을 바보로 만드는 꼴이 되어버립니다 (2³+2²+2¹+1) × (3² + 3¹+1) 식을 전개를 해서 12 개의 약수를 보면서 곰곰이 생각해 보세요 ! ^^ _ ^^
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