Top 33 수학 30 번 The 105 Correct Answer

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[2022수능] 수학 고난도 문항 어떻게 나왔나.. 미적분 30번 – 베리타스알파

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2021학년도 수능 수학 가형 30번::::수학과 사는 이야기

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2021학년도 수능 수학 가형 30번

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[수능] 어렵다는 수학 30번, 수학전공자 직접 풀어보니…”두통 호소” – 조선일보

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2021학년도 수능 수학 가형 30번 해설

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2021학년도 수능 수학 가형 30번

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올해도 어김없이 30번 문제가 학생들을 힘들게 했다.

30. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=f(\sin^2 \pi x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $0

2021학년도 수능 수학 가형 30번 해설

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30번 문항 역시 어렵습니다. 그런데 이번 30번의 특징은 꽤나 특별합니다. 이런 류의 문제는, 수학을 정말 잘하는 최상위권은 오히려 금방 풀어내는 문제지만, 다수의 학생들은 건드려볼 시간도 없었을 것이고 풀어내기 까다롭습니다. 게다가 마지막에 $f(x)$ 를 결정하는 식 세우는 방법이 일종의 테크닉인데, 최근 기출문제에서도 제 기억이 맞다면 2020학년도 6월 평가원 (가)형 21번에 쓰였던 것 말고 없었던 것 같습니다. 이 때문에 시험장에서 30번을 맞았다면 거의 1등급일 가능성이 농후할 듯 싶습니다. 총체적으로 이번 수학 (가)형은 어려운 시험이 맞습니다. 시간이 흐름에 따라 서서히 수능 난이도도 상향 평준화 되는 듯 합니다.

1. (가) 조건

(가)조건에 의하면 실수 전체에서 정의된 함수 $g(x)$의 극대가 되는 $x$의 개수가 열린구간 $(0,1)$에서 $3$이라 했으니, 일단 미분을 해봐야 합니다.

$$\begin{align*} g'(x)=f(\mathrm{sin}^2\pi x)&=f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,2\,\mathrm{sin}\pi x \cdot \mathrm{cos}\pi x\cdot \pi

\\&=\pi f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,\mathrm{sin}2\pi x \end{align*}$$

극대를 찾기 위해 $g'(x)=0$ 이 되는 $x$값을 찾아야겠죠? 일단 함수를 두 부분으로 쪼갰을 때 $\mathrm{sin}2\pi x=0$ 을 먼저 조사하면, 이는 주기가 $1$인 사인함수이므로 아래 [그림 1]과 같이

[그림 1]

$x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 에서 부호가 한 번 바뀝니다. 그런데 극대가 되는 $x$의 개수가 3이라고 했네요. 극대는 증가하다가 감소하는 곳에서 발생하므로, 다시말해 도함수의 부호가 양수에서 음수가 될 때에 해당합니다. 이를 만족하기 위해서는, 도함수의 부호가 $$+\rightarrow -\rightarrow + \rightarrow – \rightarrow + \rightarrow -$$

로 증가 – 감소 – 증가 – 감소 – 증가 – 감소로 5번이 바뀌어야 합니다. 따라서 도함수를 그렸을 때 도함수의 근(중근이 아닌 근)이 5개 존재한다는 뜻이죠. 그런데 $g'(x)$에서 우리는 $x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 하나만 찾았으니, $f'(\mathrm{sin}^2\pi x)$ 에서 4개의 근이 나와야 한다는 결론을 얻습니다.

$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=0$ 이 되는 $x$값은 당연하게도 치환(Substitution)을 사용해야 합니다. 치환은 수학에서 손에 꼽힐 정도로 아주 강력한 도구입니다. 고등학교 수준에서는 합성함수가 나왔을 때 십중팔구 치환을 이용하는게 짱입니다. 이번 수능 28번 문제도 합성함수이고, 30번도 합성함수입니다. 모두 치환을 이용해서 풀어야 하는 문제이지요. 치환을 할 때는 근의 모양과 범위가 바뀐다는 사실만 주의깊게 기억하고 사용하면 됩니다. 치환 후에는 다음과 같이 이차함수의 $x$절편을 찾는 문제로 귀결됩니다.

$$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=f'(t)=0$$

$f(x)$가 최고차항 계수가 1인 삼차함수라 했으니, $f'(x)$는 최고차항 계수가 3인 이차함수입니다. 이 때 이차함수의 근은 $t=\mathrm{sin}^2\pi x$ 이고 $x$의 값이 4개가 나오려면, $f'(t)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야만 함을 알 수 있습니다. $f'(t)=0$이 허근을 가지면 $x$가 존재하지 않고, 중근을 가지면 $x$가 최대 2개까지밖에 안나오기 때문이죠. $f'(t)=0$의 두 근을 $t_1,t_2\;\;(t_1

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